The category of finite locally-free commutative group schemes

Voici tout ce qu'il y a à savoir sur cette catégorie FL/S.

En toutes généralités, c'est une catégorie exacte au sens de Quillen. Plus précisément, le plongement de FL/S dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens fppf sur $S$ font de FL/S une sous-catégorie stable par extensions dans cette catégorie abélienne de faisceaux fppf. Dans une catégorie exacte on dispose d'une notion de monomorphismes et épimorphismes stricts: ce sont ceux qui peuvent s'insérer dans une suite exacte. Alors, si $f:Grightarrow H$ est un morphisme de schémas en groupes, $f$ est un monomorphisme strict si et seulement si c'est une immersion fermée. De plus, $f$ est un épimorphisme strict si et seulement si c'est un morphisme fidèlement plat.

En général cette catégorie exacte n'est pas abélienne. Comme rappelé précédemment c'est cepdendant le cas si $S$ est le spectre d'un corps.

Maintenant supposons que $S$ soit le spectre d'un anneau de valuation d'inégales caractéristiques que je note $mathcal{O}_K$.

Lorsque $e_{K/mathbb{Q}_p} < p-1$ Raynaud a montré que c'est une catégorie abélienne. De plus, le foncteur fibre générique $Gmapsto Gotimes K$ est pleinement fidèle et identifie FL/S à une sous-catégorie abélienne de FL/$spec(K)$ (i.e., après un choix d'une clôture algébrique $overline{K}$ de $K$, une sous-catégorie abélienne de la catégorie des $Gal(overline{K}|K)$-modules discrets finis en tant que groupe abélien).

Lorsque $e geq p-1$ le résultat précédent est faux. Néanmoins on a le résultat suivant: dans FL/S tout morphisme possède un noyau et un conoyau. Plus précisément, si $f$ est un morphisme dans FL/S alors le platifié de $ker f$ ($ker f =$ noyau usuel dans la catégorie des schémas en groupes non-nécessairement plats) (platifié= on tue la $p$-torsion) est un noyau dans $FL/S$ du morphisme $f$. On construit de même l'image de $f$ comme adhérence schématique de l'image en fibre générique. Cependant, la catégorie précédente n'est pas abélienne. Soit en effet $K=mathbb{Q}_p (zeta_p)$ et
$$
f: mathbb{Z}/pmathbb{Z} longrightarrow mu_p
$$
le morphisme qui à $bar{1}in mathbb{Z}/pmathbb{Z}$ associe $zeta_pin mu_p$. Alors, $f$ est un isomorphisme en fibres génériques. On en déduit que dans FL/S les noyaux et conoyaux de $f$ sont nuls. Ce n'est cependant pas un isomorphisme !