Thursday, 1 December 2011

The category of finite locally-free commutative group schemes

Voici tout ce qu'il y a à savoir sur cette catégorie FL/S.



En toutes généralités, c'est une catégorie exacte au sens de Quillen. Plus précisément, le plongement de FL/S dans la catégorie des faisceaux de groupes abéliens fppf sur S font de FL/S une sous-catégorie stable par extensions dans cette catégorie abélienne de faisceaux fppf. Dans une catégorie exacte on dispose d'une notion de monomorphismes et épimorphismes stricts: ce sont ceux qui peuvent s'insérer dans une suite exacte. Alors, si f:GrightarrowH est un morphisme de schémas en groupes, f est un monomorphisme strict si et seulement si c'est une immersion fermée. De plus, f est un épimorphisme strict si et seulement si c'est un morphisme fidèlement plat.



En général cette catégorie exacte n'est pas abélienne. Comme rappelé précédemment c'est cepdendant le cas si S est le spectre d'un corps.



Maintenant supposons que S soit le spectre d'un anneau de valuation d'inégales caractéristiques que je note mathcalOK.



Lorsque eK/mathbbQp<p1 Raynaud a montré que c'est une catégorie abélienne. De plus, le foncteur fibre générique GmapstoGotimesK est pleinement fidèle et identifie FL/S à une sous-catégorie abélienne de FL/spec(K) (i.e., après un choix d'une clôture algébrique overlineK de K, une sous-catégorie abélienne de la catégorie des Gal(overlineK|K)-modules discrets finis en tant que groupe abélien).



Lorsque egeqp1 le résultat précédent est faux. Néanmoins on a le résultat suivant: dans FL/S tout morphisme possède un noyau et un conoyau. Plus précisément, si f est un morphisme dans FL/S alors le platifié de kerf (kerf= noyau usuel dans la catégorie des schémas en groupes non-nécessairement plats) (platifié= on tue la p-torsion) est un noyau dans FL/S du morphisme f. On construit de même l'image de f comme adhérence schématique de l'image en fibre générique. Cependant, la catégorie précédente n'est pas abélienne. Soit en effet K=mathbbQp(zetap) et
f:mathbbZ/pmathbbZlongrightarrowmup


le morphisme qui à bar1inmathbbZ/pmathbbZ associe zetapinmup. Alors, f est un isomorphisme en fibres génériques. On en déduit que dans FL/S les noyaux et conoyaux de f sont nuls. Ce n'est cependant pas un isomorphisme !

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