Sunday, 28 September 2008

arithmetic geometry - Lifting the p-torsion of a supersingular elliptic curve.

La réponse est oui. La raison est la suivante. Si S est un schéma sur p est localement nilpotent, par définition (cf. thèse de Messing, chapitre I), un groupe de Barsotti-Tate tronqué d'échelon 1 sur S est un schéma en groupes fini localement libre sur S annulé par p tel que si G0 désigne la réduction de G modulo p on ait
Im(FG0)=ker(VG0)


comme faisceaux fppf sur S0, S0 désignant la réduction modulo p de S. Cependant, il résulte du critère de platitude fibre à fibre de EGA IV que le morphisme de S0-schémas en groupes de présentation finie
F:G0rightarrowker(VG0)

est fidèlement plat si et seulement si il en est de même fibre à fibre sur S0. De cela on déduit que dans la définition d'un BT1 on peut remplacer S0 par Sred !



Dans les considérations précédentes j'ai pris un schéma S sur lequel p est localement nilpotent, mais il en résulte que l'on a le même type de définition-résultat sur une base qui est un schéma formel p-adique.



Revenons maintenant à nos moutons, c'est à dire la question de Kevin. On a donc G un schéma en groupes fini et plat sur l'anneau des entiers de K
dont la fibre spéciale sur le corps résiduel de K est un BT1. Le schéme en groupes G est donc un BT1.



Nous allons maintenant utiliser le théorème suivant (cf. l'article d'Illusie aux journées arithmétiques de Rennes: "Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck)", Astérisque 127). Si mathcalBT1, resp. mathcalBT, désigne le champ des groupes de Barsotti-Tate tronqués d'échelon 1, resp. des groupes de Barsotti-Tate, sur des bases qui sont des schémas sur lesquels p est localement nilpotent, alors le morphisme "points de p-torsion"



mathcalBTlongrightarrowmathcalBT1



est formellement lisse. De cela on déduit la chose suivante. Soit k un corps parfait de caractéristique p et H un groupe p-divisible sur k. Soit mathfrakX l'espace des déformations de H, un spf(W(k))-schéma formel non-canoniquement isomorphe à
spfbig(W(k)[[x1,dots,xd(hd)]]big)h désigne la hauteur de H et d sa dimension.
Soit mathcalH la déformation universelle sur mathfrakX. Alors, mathcalH[p] est une déformation verselle de H[p].



Pour conclure et répondre à la question de Kevin il suffit maintenant d'invoquer le théorème de Serre-Tate qui montre que si H=E[pinfty]E est une courbe elliptique supersingulière sur k alors mathfrakX est également l'espace des déformation de E. Appliquant le théorème d'algébrisation de Grothendieck (GAGF) on en déduit que si mathfrakX=spf(R), la déformation universelle de la courbe elliptique E sur mathfrakX provient en fait d'une courbe elliptique sur spec(R). Le résultat s'en déduit par spécialisation sur mathcalOK.



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